Temas a cubrir durante el curso
- El campo escalar y su cuantización ✔
- La serie de Dyson. Orden normal y los teoremas de Wick ✔
- Diagramas de Feynman ✔
- Regularización dimensional (dim-reg) ✔
- Aislamiento de divergencias y contratérminos ✔
- La fórmula de Gell-Mann & Low ✔
- La representación de Källen-Lehmann ✔
- El operador de scattering
- Fórmulas covariantes para la sección eficaz
- Aplicaciones: electrodinámica cuántica (QED)
- El método BPHZ (Bogoliubov-Parasiuk-Hepp-Zimmermann)
- Comparación entre BPHZ y dim-reg
- El método de Epstein-Glaser
- Aplicaciones de Epstein-Glaser a QED
- El grupo de renormalización
- Tópicos adicionales (dependiendo del tiempo disponible)
Bitácora y notas de clase (2024)
Semana 1 (22-26 enero)
Las primeras clases las dedicamos a repasar algunos conceptos básicos necesarios para iniciar el curso. Entre estos se encuentran la cuantización del campo escalar, la serie de Dyson y los teoremas de Wick. En estas notas se describe uno de los métodos estándar de cuantización del campo escalar, viendo al campo como una “colección infinita” de osciladores. Adicionalmente, en estas mismas notas presento una versión elemental de otro método de cuantización que es muy conveniente en otros contextos (como, por ejemplo, el de la cuantización de un campo libre en un espacio-tiempo curvo), y que consiste en reconocer que el espacio de soluciones de la ecuación de movimiento viene dotado naturalmente de una estructura simpléctica. También aprovecho para discutir las funcione de Green avanzadas/retardadas en el caso sencillo del oscilador armónico. Algunos detalles adicionales sobre la cuantización canónica del campo escalar pueden ser consultados aquí. Para un breve repaso de la serie de Dyson y los teoremas de Wick en el caso bosónico, consultar las notas de clase del curso de Física de Partículas, disponibles aquí. Aparte de las notas clase, algunas referencias para el tema tratado esta semana son:
- Scheck, Quantum Physics, sección 7.1 (The Klein-Gordon Field)
- Bogoliubov & Shirkov, Quantum Fields, capítulo II (Quantization of Free Fields)
Semana 2 (29 enero-02 febrero)
Esta semana la dedicamos a estudiar, mediante el sencillo ejemplo de una teoría $\lambda \varphi^4$, la forma en que emergen las reglas de Feynman a partir de la serie de Dyson. Aunque no formulamos la reglas en el espacio de momento, la forma combinatoria de las expresiones que surgen de la serie de Dyson es suficiente para entender cómo los diagramas nos permiten obtener una representación gráfica muy eficiente de cada término. Las notas de clase para esta ilustración de las reglas de Feynman se pueden consultar aquí: notas diagramas en $\lambda \varphi^4$. El otro tema que se discutió esta semana fue el método de regularización dimensional que, haciendo uso de la estructura de polos de la función gamma, nos permite -de cierta forma- aislar las divergencias que aparecen en las integrales de Feynman. Las notas de clase sobre regularización dimensional se pueden consultar aquí. La siguiente es una buena referencia sobre este método:
- S. Weinzierl, Introduction to Feynman Integrals (arXiv:1005.1855)
Semana 3 (05-09 febrero)
La clase del miércoles estuvo dedicada a introducir la idea de los “contratérminos”, como una forma de eliminar las divergencias que aparecen en los diagramas de Feynman. Un ejemplo suficientemente sencillo, pero que ilustra adecuadamente la técnica, es el de un diagrama de auto-energía en una teoría $\lambda \varphi^3$. En este caso, la divergencia (logarítmica) que aparece se debe al hecho de que -en el espacio de posición- aparece un producto de la forma $\Delta_F \,(x)^2$ que, como hemos visto, no está definido como distribución. Al pasar al espacio de momento, vimos que este problema se traduce en el hecho de que la integral \begin{equation} I(k) = \frac{i}{\pi^2}\int \frac{d^4p}{(p^2-m^2+i 0)((p-k)^2-m^2+i 0) } \end{equation} es divergente. Al regularizar esta integral usando el método de regularización dimensional, obtenemos una expresión de la forma \begin{equation} \mathrm{reg}_\varepsilon I(k)= I_{\mathrm{sing}}^{(\varepsilon)} +I_{\mathrm{fin}}(k,\mu), \end{equation}
donde el primer término es un término singular (que diverge cuando se “levanta” la regularización) y el segundo un término finito. Al calcular la transformada inversa de Fourier (manteniendo $\varepsilon>0$) obtenemos una “versión regularizada” del producto $\Delta_F \,(x)^2$. Vimos que el término singular $I_{\mathrm{sing}}^{(\varepsilon)}$ aparece como el coeficiente de una distribución $\delta (x)$. Al reemplazar este producto regularizado en la integral que proviene de la serie de Dyson, vimos que la contribución del término singular daba lugar a un operador cuasi-local que, debido a la presencia de la distribución delta, generaba un término que tenía la apariencia de un término de masa del Lagrangiano. De aquí proviene la idea de escribir el parámetro de masa que aparece originalmente en el Lagrangiano en la forma $m^2=(m^*)^2 +(\delta m)^2$: $\quad$ vemos que el término proporcional a $(\delta m)^2$ da lugar a una expresión que se puede ajustar para hacer que se cancele con $I_{\mathrm{sing}}^{(\varepsilon)}$. El viernes iniciamos el estudio de varias de las funciones singulares (distribuciones) de las que haremos uso. Entre estas se encuentran la función de Pauli-Jordan $\Delta_0$, las funciones de Green avanzadas y retardadas, $\Delta_{\textrm{ret}}, \Delta_{\textrm{adv}}$, las funciones de dos puntos, $\Delta_{\pm}$, y el propagador de Feynman $\Delta_F$.
Las siguientes son las notas de clase para los temas de esta semana:
Semana 4 (12-16 febrero)
La fórmula “mágica” de Gell-Mann y Low permite calcular funciones de correlación para una teoría interactuante en términos de funciones de correlación de la teoría libre. Aunque se trata de una fórmula heurística, cuya validez solo puede ser establecida en algunos casos (ver, p. ej., arXiv:0807.4218), es a partir de esta que se realizan los cálculos perturbativos en teoría cuántica de campos y, como veremos más adelante, los resultados que se obtienen son sorprendentes. Para ilustrar cómo se usa la fórmula, en clase desarrollamos un ejemplo explícito, que puede ser consultado en las notas listadas aqui:
- Fórmula de Gell-Mann-Low: ejemplo con una teoría $\lambda \varphi^3$: PDF
Semana 5 (19-23 febrero)
Axiomas de Wightman + nociones de topología
- Axiomas de Wightman: PDF
Semana 6 (26 febrero-1 marzo)
Representación de Källen-Lehmann.
- Polo y residuo del propagador: PDF
- Representación de Källen-Lehmann:
Semana 7 (4-8 marzo)
- Fórmulas de reducción (LSZ):
Semana 8 (11-15 marzo)
Semana 9 (1-5 abril)
Semana 10 (8-12 abril)
Semana 11 (15-19 abril)
Bogoliubov-Shirkov, sec. 21 PDF
Semana 12 (22-26 abril)
El método de Epstein-Glaser: consecuencias de las condiciones de unitareidad y causalidad. “Splitting” de distribuciones causales. PDF