Jornadas 2025

Discutiremos una interesante relación que emerge entre interferencia en óptica cuántica y las matrices de representación del grupo unitario, según la cual es posible descomponer los elementos de matriz como sumas de potencias de amplitudes de probabilidad entre estados de un solo fotón. En el límite asintótico de muchos fotones, estas descomposiciones permiten entender la envolvente semiclásica que describe el comportamiento burdo de las matrices de representación en términos de la medida inducida por un mapa del toro al simplejo de probabilidad que describe el interferómetro clásico correspondiente.

En la charla hablaré de algunas interacciones básicas entre el espacio moduli de conexiones de superficies de género 1 y el espacio moduli de las curvas elípticas.

Desde que aprendí sobre el teorema de Liouville en el pregrado en un curso de variable compleja, me pareció un teorema sorprendente: toda función entera acotada debe ser constante. Después volví a encontrar el teorema de Liouville durante mi doctorado: Yau en 1975 mostró que era válido para cualquier función armónica acotada definida en una variedad Riemanniana completa. Años después empecé a pensar más en serio en el Teorema de Liouville; es de esos teoremas que envejecen muy bien: un enunciado corto, poderoso y elegante (y que se puede enseñar temprano en la carrera). En esta charla hablaré sobre lo que he pensado sobre el Teorema de Liouville a lo largo de los años, solo y en colaboración (acá debo mencionar a John E. Bravo, Ramón Urquijo y Daniel Peters). Hablaré de su versión para funciones armónicas, funciones poliarmónicas e inclusive para una familia de operadores no lineales cercanos al Laplaciano, el p-Laplaciano.

The Doplicher-Fredenhagen-Roberts (DFR) quantum spacetime offers a noncommutative model that incorporates fundamental spacetime uncertainty relations. Using the Quantum Diagonal Map, one obtains an effective non-local quantum field theory (QFT) that is free from ultraviolet (UV) divergences and possesses a well-defined adiabatic limit. In this work, we begin with linear bosonic gauge theory in a cosmological background, formulated within the perturbative algebraic quantum field theory (pAQFT) framework, and introduce non-local effects in the linear perturbations of a scalar field and the metric. These effects are encoded in the Mukhanov variable, whose dynamics are governed by a Klein-Gordon operator. We then compute the algebra of the Bardeen potentials, incorporating the non-local modifications arising from the DFR propagators via the Quantum Diagonal Map.

Given the unital C*-algebra \(A\), the unitary orbit of the projector \(p_0=\left(\begin{array}{cc} 1& 0 \\ 0& 0 \end{array}\right)\) in the C*-algebra \(M_2(A)\) of \(2\times 2\) matrices with coefficients in \(A\) is called the Riemann sphere \(R\) of \(A\). We show that \(R\) is a homogeneous reductive \(C^\infty\) manifold of the unitary group \(U_2(A)\subset M_2(A)\) and carries the differential geometry deduced from this structure (including an invariant Finsler metric). Special attention is paid to the properties of geodesics and the exponential map. If the algebra is represented in a Hilbert space \(H\), in terms of local charts of \(R\), elements of the Riemann sphere may be identified with (graphs of) closed operators on \(H\) (bounded or unbounded).

En esta charla presentaremos una manera de relacionar ciclos geométricos sobre espacios con acción propia de un grupo discreto usando estructuras pushforward sobre una teoría de cohomología equivariante, y presentaremos avances en cómo esto a su vez induce una K-homología geométrica equivariante. Este es un trabajo conjunto con M. Velasquez y P. Carrillo.

La geometría no conmutativa, formulada a través de la teoría de las triplas espectrales de Alain Connes, ha ampliado nuestro entendimiento de los espacios «cuánticos» al codificar la geometría de un espacio en términos puramente algebraicos y espectrales. Tradicionalmente, esta correspondencia se ha aplicado con gran éxito al estudio de variedades riemannianas, donde el teorema de reconstrucción garantiza la existencia de una tripla espectral que recupera la métrica de dichos espacios. Exploraremos cómo, en el caso de dimensión finita con traza, es posible construir una tripla espectral que capture la geometría de este espacio. Abordaremos un posible camino para el problema en el caso de dimensión infinita, el cual presenta desafíos analíticos sustanciales.

Coarse index theory on complete Riemannian manifolds was invented by John Roe as a generalization of the Fredholm index theory of Dirac type operators on compact manifolds. In my talk I will discuss the analytic foundations underlying the operators that lead to the definition of the coarse index as an element of the K-theory of a C*-algebra. Along the way, we will also see that Jody Trout’s “spectral” picture of K-theory is ideal for these purposes.